若当型——矩阵不相似于对角形，那相似于什么？

矩阵相似于对角形是考研数学线代部分的必考问题，选填和大题都有可能出，所以也是同学们复习的重点内容。

$n$ 阶方阵 $A$ 相似于对角形（或者说 $A$ 可对角化）的充分必要条件是：$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

这是核心理论，由此得出了一些相关结论（充分条件）：

• 如果 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，则 $A$ 相似于对角形；
• 实对称矩阵必相似于对角形；
• 等等。

同学们在学习的时候应该也都理解：$A$ 不相似于对角形的关键原因就是 $A$ 有重根特征值。有重根特征值的矩阵可以相似于对角形——这时候重根特征值对应的特征向量个数必须与根的重数相等；否则就不相似于对角形。

不相似于对角形，那相似于什么？

自然这就引出了一个问题：矩阵如果不相似于对角形，那么是否相似于其他"标准形"？

讲课的时候经常有同学问到这个问题。答案是：是的！

考研数学大纲没有这方面的要求，但如果愿意多学的同学（或者说——肯定能考上研究生的同学），还是可以了解这方面的内容。读研写论文的时候你极有可能要用到，同时也有利于提高数学能力。

这个"标准形"叫 若当型（Jordan Canonical Form，若当是法国数学家 Jordan Camille）。

一个例子

三个矩阵的特征值都是 $\lambda = 2$（三重根），但它们的特征向量个数截然不同：

• $A$ 是对角形（三个线性无关的特征向量）
• $B$ 和 $C$ 都是若当型——都不相似于对角形，但两者的结构也不同：
• $ 包含一个 $2 \times 2$ 若当块和一个 $1 \times 1$ 若当块
• $ 包含一个 $3 \times 3$ 若当块

拓展

感兴趣的同学可以参考数学系的高等代数教材。尽管不在考试范围，但如果有所了解，对判断题很有帮助。

我推测，如果考研数学线性代数部分将来要添加内容的话，很可能就在这个地方。