极限理论：极限的存在性与保号性

发布于 2026-07-08极限保号性存在性连续性可导性高等数学

# 极限理论：极限的存在性与保号性

微积分作为一门完整的学科，可以说是从极限理论发展开来的；或者说极限理论是微积分的核心。

这里说的极限理论主要包括：极限的概念与定义（"$\varepsilon$-$\delta$"; "$\varepsilon$-$N$"），极限的存在性，极限的性质，函数的连续性，以及函数的可导性。

在考研数学的试题里这些往往都是很难的概念题目，考察的就是对理论的理解深度。

---

一、数列的保号性

先说保号性，其实这也是对极限定义的深入解读。

数列的保号性： 对数列 $\{a_n\}$，若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n = a$，且 $a > 0$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $a_n > 0$。

通俗来说，大家是这样记这个结论的：极限保（号）数列；但反之不一定。反例就是：$\displaystyle\left\{\frac{1}{n}\right\}$。

但是这个结论里一个非常主要的知识点（也是考研题目可能的出题点）就是："存在 $N$，当 $n > N$ 时" 这句话，这也是当 $n$ 趋于无穷大的数学描述。

这句话的含义是：数列的保号性与前有限项（前 $N$ 项）无关！

给个例子大家慢慢体会：

> 例：对数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n = a$，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n = b$，且 $a > 0$，$a < b$。则下列哪个正确： > > A. 对所有的 $a_n$，都有 $a_n > 0$ > > B. 当 $n$ 很大时，$a_n > b_n$

---

二、函数的保号性

函数的保号性： 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0, \delta)$ 内有定义，且 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0$；则当 $x \in \mathring{U}(x_0, \delta)$ 时有：$f(x) > 0$。

这里的关键知识点是："$x$ 属于 $x_0$ 的某个去心邻域"。这句话包含两个意思：

1. 函数的保号性是个局部概念，只在 $x_0$ 附近成立； 2. 只要函数在去心邻域内有定义，且在 $x_0$ 点的极限存在即可；没有要求 $f(x_0)$ 的存在性！

这些知识点就是需要读者认真思考的（也是考研题目的出题点）。

---

三、极限的存在性

对数列极限，验证存在性一般是：

(a) 用定义（不在考研数学范围之内）；
(b) 用单调有界以及夹逼准则——以后单独开篇讲解；
(c) 用性质，比如：两个数列都有极限则其和、差、积也都有极限等（与 (b) 一起讨论）。

这里主要讨论函数极限的存在性问题。除了可以利用性质来验证外，最常用的就是如下：

> 函数极限存在的充分必要条件： 函数在 $x_0$ 点的左、右极限都存在且相等。

如果是单纯验证极限的存在性，几乎都是求左右极限来验证。

注意点是，这里对 $f(x_0)$ 也没有要求。

---

四、连续性与可导性

如果左右极限存在、相等、且恰好等于 $f(x_0)$，则是连续的定义：

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

这个定义还是很深刻，包含如下三个要素：

1. $f(x_0)$ 有定义； 2. 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 有极限； 3. 极限值等于函数值。

破坏了任何一条都是间断！

因为函数在 $x_0$ 点的导数也是由极限来定义的：

若 $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ 存在，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

因此验证函数在某点是否可导也是利用左右极限概念，在这里就是左右导数存在且相等！

---

五、真题演练（2025 数一）

接下来利用 2025 年的一道考研题目综述上面的内容。

> 例：设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件： > > (1) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - f(0)}{x}$ 存在； > > (2) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - |f(0)|}{x}$ 存在； > > (3) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在； > > (4) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - |f(0)|}{x}$ 存在； > > 其中能得到"$f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导"的条件个数是（） > > A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4

解析

先分析 (3)：由极限存在以及函数连续，则必须有 $\displaystyle\lim_{x \to 0} |f(x)| = |f(0)| = 0$。

又 $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{|f(x)|}{x} \leq 0$；$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{|f(x)|}{x} \geq 0$，所以 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x} = 0$。

则 $\displaystyle f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{|f(x)|} \cdot \frac{|f(x)|}{x} = 0$，可导。(3) 成立。

再分析 (1)：比值的极限存在，则分子也必须是无穷小：

\lim_{x \to 0} \big(|f(x)| - f(0)\big) = 0

由连续性可得 $|f(0)| = f(0)$，由此 $f(0) \geq 0$。

若 $f(0) = 0$，同 (3)，可导；
若 $f(0) > 0$，由保号性，在 $0$ 点邻域内 $f(x) > 0$；由此可得：

\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)

所以 (1) 也正确。

同理可知 (2)，(4) 也都正确。

---

小结

这道题完美串联了极限存在性（左右极限）、连续性、保号性和可导性——正是本文想传达的核心：极限理论是一个整体，各概念之间环环相扣。 理解了它们的内在联系，概念题自然就不难了。

---

> 经纬考研数学 > > 官网：[www.jingweimath.com](https://www.jingweimath.com)