跨科题目精讲——线代与几何的结合

从近几年的考题来看，除了强调三基（基本概念、基础理论、基本计算）外，出现了一些跨科的题目。这里主要分享线性代数与几何相结合的题目——连续出现在 2024 数一和 2025 数一考卷里：线性方程组与空间平面问题。

从考研数学的题目看，有重视这方面的倾向（很有必要！）。下面这个题目很好地考察了这个知识点，同学们慢慢体会，自己总结。

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例题（2025 数一）

设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是 $n$ 维向量，$\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，且 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4 = 0$。

问：在空间直角坐标系 $O\text{-}xyz$ 中，关于 $x, y, z$ 的方程组

的几何图形是（ ）

• A. 过原点的一个平面
• B. 过原点的一条直线
• C. 不过原点的一个平面
• D. 不过原点的一条直线

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解析

（1） $x\alpha_1 + y\alpha_2 + z\alpha_3 = \alpha_4$ 表示的是 $n$ 个三元一次方程组，在直角坐标系里，每个方程都表示一个平面。

（2） 由已知条件：$\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，且 $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4 = 0$，可得

即方程组有无穷多组解。也意味着这 $n$ 个方程实际上只有两个方程是独立的——几何上，只有两个平面是独立的，其他都由这两个生成。

（3） $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_4 = 0$ 这个条件意味着平面不过原点（自己思考为什么？）。

（4） 几何空间中两个平面相交为一条直线。

综合以上：方程组表示不过原点的一条直线，选 D。

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小结

这是个典型的深挖基本概念的综合题目，非常值得总结思考。

留给同学们的思考题： 方程组满足什么条件时，其所表示的几何图形为

• (i) 一个点？
• (ii) 一个平面？
• (iii) 方程组无解在几何上是什么图形？

顺便提一句，未来再出此类考题的话，应该就是反向问题。

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